Thanks to the thoughts expressed by Sri Arvind Iyer (@longhandnotes at Twitter), I got the idea of attempting a poetic interpretation of Leonhard Euler's work that led to the birth of Graph Theory. The story of the seven bridges of Königsberg. This is what followed over the course of the next 2-3 months, a mini-kaavya of 34 verses in Kannada Bhamini Shatpadi, which I named as "Bindurekha Charite" (Bindu - Node, Rekha - Edge: The two primary ingredients of a Graph).
Here are the verses:
ಹಸಿರು ವನಗಳು ಹಿಮದ ಗಿರಿಗಳು
ಹೊಸತು ಜೀವದ ಸೆಲೆಯ ಕಣಗಳ-
ನುಸಿರೊಳಾಡಿಸಿ ಹುರಿಯ ತುಂಬಿಸೆ ಮನಕೆ ಚೇತನಕೆ
ಬೆಸೆದು ರೈನಿನ ನದಿಯ ಕೋರೆಗೆ
ವಸತಿ ಕಟ್ಟಿದ ಬಾಸೆಲೂರಲಿ
ಹೆಸರು ಮಾಡುವ ಗಣಿತ ಗಾರುಡಿಯೊಂದು ಜನಿಸಿತ್ತು || ೧ ||
Where there are lush green forests and snow capped mountains that infuse freshness in the thoughts of people everyday, on the banks of river Rhine was a town named Basel, where a Mathematical genius was born.
ಶತಕ ಹದಿನೆಂಟರಲಿ ಹುಟ್ಟಿದ
ರತುನ ಲಿಯೊನಾರ್ಡಾಯ್ಲರೆನ್ನುವ
ಸುತನು ಹಿರಿಯನು ಪಾದ್ರಿ ಪಾಲಗೆ ಮಾರ್ಗರೀಟರಿಗೆ
ಮತಿಯೊಳೆಲ್ಲರ ಮೀರುವಳವಿರ-
ಲತುಳ ವಿದ್ಯಾಪರಮನಾದನು
ಜತನದಲಿ ದಾರಿಯನು ತೋರಿರೆ ತಜ್ಞ ಬರನೂಲಿ || ೨ ||
Leonhard Euler, born in the 18th Century (1707) was the eldest son of pastor Paul III Euler & Marguerite Brücker. He was a brilliant young mind and completed MPhil (at the University of Basel) with the able guidance of Johann Bernoulli.
ಇಂತು ಬುದ್ಧಿಯ ಚುರುಕಿನಾಯ್ಲರ-
ಗೆಂತು ಪಾದ್ರಿಯ ಪದವಿ ತಣಿವುದು
ಸಂತ ಪೀಟರಬರ್ಗ ನಗರದಿ ಗಣಿತ ಗುರುವಾದ
ಕಂತೆ ಕಂತೆಗಳಷ್ಟು ಶೋಧಿಸಿ
ಹಂತ ಹಂತದಿ ಗೆಲುವು ಸಾಧಿಸಿ
ದಂತಕತೆಯಂತಾದ ತಿಳಿವಿಗೆ ನವತೆ ಕಲ್ಪಿಸುತ || ೩ ||
For an intelligent young man like Euler, following the footsteps of his father and becoming a pastor was not an option. He moved to St. Petersburg (with the help of the Bernoullis) and got a position in the Mathematics department there. The rest is history.
ಕಲನ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗಣಿತ ಭೌತಿಕ
ಚಲನ ತಾರ್ಕಿಕ ನಾದ ಚಾಕ್ಷುಷ
ವಲಯವೀಯೆಲ್ಲವುಗಳಾಳವ ತಿಳಿದು ಶೋಧಿಸುತ
ಸಲಹಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಬೀಜಶಾಸ್ತ್ರವ
ಹಲವು ಕಲ್ಪಿಸಿ ರೇಖೆ-ಕೋನದಿ
ತಲುಪಿ ಶಿಖರವ ದಾಟಿ ಹೊಸತನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದನಾತ || ೪ ||
Calculus, mechanics, mathematics, physics, motion dynamics, logic, musicology & optics were the many fields he researched in depth. He Also found new results in number theory, algebra, geometry & trigonometry as he transcended the pinnacle of knowledge.
ಪೊಡವಿಯೊಳು ವಿಜ್ಞಾನ ಬೆಳೆದಿರೆ
ತೊಡಕನೊಂದನು ಬಿಡಿಸಲೆನ್ನುತ
ತೊಡಗಿಕೊಂಡರು ಜನರು ತಮ್ಮಯ ತಿಳಿವನೊರೆಹಚ್ಚಿ
ಪಡುವ ದೆಸೆಯೊಳ್ ಪ್ರಾಯ್ಸೆನೆಂಬುವ
ಕಡಲ ತಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ನಾಡಿನೊ-
ಳಡಗಿ ಚೆಲುವಾಗಿರುವ ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗಿನೂರಿನಲಿ || ೫ ||
As scientific discoveries continued across the world, people were interested in a specific problem in the beautiful western city of Königsberg, in the region of Preußen (Prussia) on the banks of the Baltic Sea.
ಪ್ರೇಗಲೆನ್ನುವ ನದಿಯು ಹರಿದಿರೆ
ವೇಗದಿಂದಲಿ ರಾಜಗಿರಿಯಲಿ
ಭಾಗವಾಗಿಸಿ ಲೋಮ್ಸ ನೀಫಾಫೆನುವ ದೀವಿಗಳ
ಸಾಗಲವುಗಳಿನಾಚೆಯೂರಿಗೆ
ಬಾಗಿ ತೂಗುವದೇಳು ಸೇತುಗ-
ಳಾಗಿ ಕಟ್ಟಿಸಿ ಬಾಳುತಿರ್ದರು ಸೊಗದಿ ಪುರಜನರು || ೬ ||
As the river Pregel passed through Königsberg (ರಾಜಗಿರಿ), it split the city into mainland and two islands within, named Lomse and Kneiphof. To travel between the islands and to crossover to mainland, the locals constructed seven bridges and lived in harmony.
ಮರದ ಸೇತುವೆ ಜೇನ ಕಟ್ಟೆಯು
ಹರಿತ ವರ್ಣದ ಸುಭಗ ಸಾರವು
ಹರದರಿಗೆ ಮಾಡಿರುವ ಸಂಕವು ಸಾಲದೆಂಬಂತೆ
ಪುರದೊಳೆತ್ತರದಲಿಹ ಸೇತುವೆ
ಭರದಿ ದಾಟಲು ಬೆಸೆವ ಸಂಕ್ರಮ
ಸರಕು ಸಾಗಿಸೆ ಲಾಳಿಗರಿಗೆಂದೇಳು ಸೇತುಗಳು || ೭ ||
Holzbrücke (Wooden Bridge), Honigbrücke (Honey Bridge), Grüne Brücke (Green Bridge), Krämerbrücke (Merchants' Bridge), Hohebrücke (High Bridge), Köttelbrücke (Connecting Bridge) and Schmiedebrücke (Blacksmiths' Bridge) were the seven bridges of Königsberg.
ಮಂದಿ ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗಿನವರಿಗೆ
ಕಂದ-ಕೋವಿದರೆನುವುದೆಣಿಸದೆ
ಗೊಂದಲವನೊಂದನ್ನೆ ಬಿಡಿಸುವ ಬಯಕೆ ಮನೆ ಮಾಡೆ
ಒಂದು ಸೇತುವನೊಮ್ಮೆ ದಾಟುತ
ಹಿಂದೆ ಮೆಟ್ಟಿದ ಹಾದಿ ಮೆಟ್ಟದೆ
ಬಂದು ತೀರಿಸಲೊಂದು ಸುತ್ತನು ಬಹಳ ತಿಣುಕಿದರು || ೮ ||
For all the people of Königsberg, young and old, there was only one problem they wanted to solve. Finding a path across their city that involved crossing every bridge exactly once. And they tried and tried to no avail.
ಒಮ್ಮೆ ದಾಟಿದ ಸೇತುವನು ಮ-
ತ್ತೊಮ್ಮೆ ದಾಟದೆ ಪಥವು ತೀರದು
ಹೆಮ್ಮೆಯಿಂದಲಿ ಮುಗಿಯಿತೆನ್ನಲು ಸೇತುವೊಂದುಳಿಯೆ
ತಮ್ಮ ಬುದ್ಧಿಯ ಹಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ
ಸುಮ್ಮನಾಗದೆ ಮತ್ತೆ ಯತ್ನಿಸಿ
ನೆಮ್ಮದಿಯ ಬಿಟ್ಟರಸಿದರು ಜನರಿದಕೆ ಪರಿಹಾರ || ೯ ||
As they tried crossing every bridge exactly once to complete the path, they had to cross at least one bridge more than once, or when they completed a path, at least one bridge remained uncrossed. They kept trying though, cursing their own lack of knowledge.
ಊರನರಿತಿರ್ದೀಲರೆಂಬುವ
ಪೌರಮುಖ್ಯನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಿಯು
ತೋರದಾದನು ಗೂಢ ತೊಡಕಿಗೆ ತಕ್ಕ ವಿವರಣೆಯ
ಭೂರಿ ಯತ್ನವ ಮಾಡಿ ಸೋಲುತ
ದಾರಿ ಕಾಣದೆ ಗಣಿತಕೆರಗುತ
ಕೋರಿ ಬರೆದನು ಪತ್ರವೊಂದನು ಬುಧನಿಗಾಯ್ಲರಗೆ || ೧೦ ||
Carl Gottlieb Ehler, a mathematician & physicist himself, later a mayor (of Danzig), knew about the problem himself, tried but could not solve it. He then wrote about this to Euler asking him to solve the problem using his knowledge of mathematics.
ಏಳು ಸೇತುಗಳಾಟವನು ಕಂ-
ಡೀಲರನು ಕಳಿಸಿದ್ದ ನಕ್ಷೆಯ
ತಾಳೆ ನೋಡುತ ತರ್ಕದಿಂದಲೆ ಬಿಡಿಸಬಹುದೆನಿಸಿ
ನಾಳೆಯೆನ್ನದೆ ವಿನಯದಿನೆ ಮರು-
ವೋಲೆಯೊಂದನು ಕಳಿಸಿ ಮುಂದಿನ
ಪಾಳಿಗೆನ್ನುತ ನೇಮಿಸೊಡಪನು ಮಗ್ನ ತಾನಾದ || ೧೧ ||
After observing the city map of Königsberg sent by Ehler, Euler felt that it could be solved by just applying logic and hence did not require any mathematics. He wrote these thoughts back to Ehler with utmost humility, and kept the problem aside for later.
ಕೀಳು ಹಾಳೆಂದಾವ ತೊಡಕನು
ಬೀಳುಗಳೆಯದ ಸಭ್ಯ ತಜ್ಞನ
ಚೇಳಿನಂದದಿ ಮರಳಿ ಕುಟುಕಿತು ಪಾಲನಂದನನ
ತಾಳದಾದನು ತನ್ನ ತುಡಿತವ
ಸೀಳಿ ನೋಡಿದನೊಗಟಿನಾಳವ
ಮೇಳವಿಸಿ ಹೊಸತೊಂದು ಚಿಂತನೆ ಲೈಬನಿತ್ಸನದು || ೧೨ ||
Not someone to treat any problem lightly, the courteous and intelligent son of Paul (Euler) could not stay away from this problem for long. He started dissecting it by applying some new thoughts that Leibniz had expressed of late (Geometry of Positions).
ನಕ್ಷೆಯಂ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದನವ-
ನಕ್ಷಿಪಟಲದಿ ನೋಟ ಕುಂದಿರೆ
ಲಕ್ಷಣವು ತೊಡಕಿನದು ತೋರಿತು ಸೇತುರಚನೆಯಲಿ
ಅಕ್ಷಚಿಹ್ನೆಯ ರಾಜ್ಯನಗರದ
ಲಕ್ಷ್ಯವೆಲ್ಲವ ಸೆಳೆದ ಸಿಕ್ಕಿಗೆ
ದಕ್ಷತೆಯಲೊಂದುತ್ತರವನವ ಕೊಡಲು ಮೊದಲಾದ ॥೧೩॥
Euler observed the map even as his eyesight was failing & realized that the problem was in the way the bridges were arranged. He prepared himself to solve the problem that bothered the dwellers of the city that had an Eagle as its coat of arms - Königsberg.
ನದಿಯು ಹರಿದಿರೆ ರಭಸದಿಂದಲಿ
ಚದುರಿಸಿಳೆಯನು ರಾಜಗಿರಿಯಲಿ
ಮೊದಲು ನೀಫಾಫೆನುವ ದೀವಿಯು ಸೃಷ್ಟಿಯಾಗಿರಲು
ಬದುವಿಗೆಡಕೆಂದೆರಡು ಸೇತುಗ-
ಳೆದುರು ಬಲಕಿನ್ನೆರಡು ಕಟ್ಟುತ
ಮುದದಿ ಲೋಮ್ಸಕೆ ದಾಟಿ ಹೋಗಲು ಮಧುರಪಿಂಡಲವು ॥೧೪॥
By studying the map, Euler saw that the river first formed the island of Kneiphof as it flowed through Königsberg. There were two sets of bridges each from there to the left & right banks, & another to crossover to the island of Lomse, called Honigbrücke.
ಹಿರಿಯ ದೀವಿಯು ಲೋಮ್ಸವೆಂಬುದು
ತೆರಳಲದರಿಂದಾಚೆ ನಗರಕೆ
ಹರಿವ ನೀರನು ದಾಟವುದಕಿನ್ನೆರಡು ಸೇತುಗಳು
ಸರತಿಯಿಂದೆಡಬಲದಲೊಂದೊಂ-
ದಿರಲು ಸೇತುಗಳೇಳು ಮುಟ್ಟಿರೆ
ಧರಣಿಪಟದಲಿ ಪುರದ ಭೂಮಿಯು ನಾಲ್ಕು ಖಂಡಗಳು ॥೧೫॥
The bigger island was Lomse and to crossover to the mainland of Königsberg from there, two more bridges were present - one each to the left and right banks. This added up to seven bridges and four partitions of the ground in the city.
ಸರಳವಾಗಿಸಿ ತೊಡಕ ಬಿಡಿಸಲು
ಬರೆದು ಭೂಮಿಯ ಭಾಗಗಳ ತಾ
ಗುರುತು ಮಾಡುತ ಬಿಂದುವಾಗಿಸಿ ಹೆಸರನವಕಿತ್ತು
ಗೆರೆಗಳೆಳೆದನು ಸೇತುಗಳ ಹೆಣೆ-
ದಿರಿಸಿ ಬಿಂದುಗಳೊಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ
ಪುರದ ಚಿತ್ರವನೊಂದ ರಚಿಸಿದ ಕಾಥರೀನಪತಿ ॥೧೬॥
To simplify the problem, the husband of Katharina Gsell (Euler) represented each land mass as a point and gave them a name each (using a letter of English alphabet) and drew lines connecting them to indicate the bridges connecting the land masses.
ವೇಣಿಯಂದದ ರಚನೆ ಮೂಡಿರ-
ಲೇಣುಗಳ ನಾಲ್ಕೊಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ
ಪೋಣಿಸಿಡುತಿರೆ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕರೊಳು
ತಾಣ ಕೊನೆಯದಕೆಲ್ಲೆಡೆಗಳಿನೆ
ಬಾಣದಂದದಿ ಗೆರೆಗಳಿದ್ದವು
ಕಾಣುತಿತ್ತದು ಹೆದೆಯನೇರಿದ ಬಿಲ್ಲಿನಂದದಲಿ ॥೧೭॥
Representing the map as nodes & edges brought out an image where three of the land masses were connected by four edges as if it is a plait & from each of these three, edges went to the last one like arrows and the whole image looked like a strung bow.
ದೊರೆತ ಚಿತ್ರವ ನೋಡಿದಾಯ್ಲರ-
ನರಿತ ಭೂಭಾಗಗಳ ಬಿಂಬವು
ಸರಳವಾಗಿಯೆ ಬಿಂದುಗಳಲವತಾರವೆತ್ತುವುವು
ಸರತಿ ಬದಲಿಸಿ ಚುಕ್ಕಿ-ಗೆರೆಗಳ
ಬರೆಯುತಿರಲಂತರವು ಕಾಣದು
ಸರಿಯದಾಗಿರಲವುಗಳೆಣಿಕೆಯು ಗೆರೆಯ ನೆರೆಹೊರೆಯು ॥೧೮॥
Observing the diagram, Euler realized that it is correct to assume a landmass as just a point, & that it does not make much difference as to where the nodes are drawn & how they are connected if the count & adjacency of these nodes & edges remain the same.
ವ್ಯೂಹವಾಗಿಸಿ ಸೇರೆ ಗೆರೆಗಳು
ನೇಹದಿಂದಲಿ ಚುಕ್ಕಿಗಳ ಬಳಿ
ಬಾಹುಬಲವೆಂದದನು ಕರೆದನು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಣವ
ಆಹ! ಸಿಕ್ಕಿತು ತಿರುವಿದೆಂದು-
ತ್ಸಾಹದಿಂದಲಿ ಲೆಕ್ಕವಿಡುತಲಿ
ಯೋಹನನ ಪಿತನರಿತನೀ ಗುಣದೊಳಿಹ ಮಹಿಮೆಯನು ॥೧೯॥
As edges came together at nodes, he saw that their count at each node was a property of the node, & called it the valency (degree) of the node. Euler, the father of Johann, realized that it was a breakthrough & proceeded to make use of this node property.
ಒಳಗೆ ಬರಲೊಂದಿರಲು ರೇಖೆಯು
ಬೆಳಸೆ ಪಯಣವ ಚುಕ್ಕಿಯಾಚೆಗೆ
ಬಳಸಬೇಕಿದುವರೆಗೆ ಬಳಸದ ಹೆರತು ಹೊರದಾರಿ
ತಿಳಿವುದಿದರಿಂದೆಮಗೆ ಸುಲಭದಿ
ತುಳಿದ ಹಾದಿಯ ತುಳಿಯದಿರ್ದೊಡೆ
ತಳೆದ ಮೊನೆಗಳಿಗಿರಲುಬೇಕಿದೆ ಸಮದ ಬಾಹುಬಲ ॥೨೦॥
When an edge is used to traverse into a node, a different edge has to be used to traverse out of it. From this, we can easily understand that - if we have to not reuse the same edge as used before - we need the degree of every node to be even.
ಸ್ಥಳಗಳಿವುಗಳಲೆರಡಕಿರಬಹು-
ದುಳಿಕೆಯೀಗುಣದಿಂದ ಬಲದಲಿ
ಸುಳಿದು ಮರಳುವ ಗೊಡವೆಯಿಲ್ಲದ ಮೊದಲು ಕೊನೆಗಳಲಿ
ಸೆಳೆಯಬಹುದಿದರಿಂದಲೀ ಪರಿ
ತಿಳಿವ ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗಿನಣೆಗಳ
ಬಳಸಲಾಗದು ಬಿಂದುವೆಲ್ಲಕು ವಿಷಮಬಲವಿರಲು ॥೨೧॥
Only 2 nodes are exempted from this property (of even degree). The node from where the path starts (no entering) & the one where it ends (no exit). We can derive that it is impossible to traverse the bridges of Königsberg as all 4 nodes have odd degrees.
ಕಟ್ಟುಪಾಡುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸಿ
ಕಟ್ಟಿಕೊಟ್ಟನು ವಿವರ ನೀಡುತ
ಬೆಟ್ಟದಷ್ಟೆತ್ತರಕೆ ಕಂಡಿದ್ದೊಗಟಿಗುತ್ತರವ
ದಟ್ಟವಾಗಿರೆ ಚುಕ್ಕಿ ಗೆರೆಗಳು
ಗಟ್ಟಿಯಾಗೊಂದರಿವು ಮೂಡಲು
ಕೊಟ್ಟನಾಯ್ಲರನೊಂದು ತುಲನೆಯ ತನ್ನ ಬರಹದಲಿ ॥೨೨॥
To provide a solution to what looked like a huge unsolvable problem, Euler followed the formal approach and wrote a thesis (Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis) in which he proposed an equation that came in handy even for dense graphs that can't be evaluated by hand.
ಒಂದು ಭೂಮಿಯ ಭಾಗವನು ಬಿ-
ಟ್ಟೊಂದು ಬೇರೆಯದನ್ನು ಸೇರಲು
ಬಿಂದುಗಳ ಹೆಸರೆರಡ ಬರೆಯುತ ಸರಣಿ ಪೋಣಿಸಿರೆ
ಒಂದು ಸಾರವನಿಂತು ಹಾಯಲು
ಸಂದ ಬಿಂದುಗಳೆರಡದಾಗಿರೆ
ಮುಂದೆ ಸೇತುಗಳೆಲ್ಲ ದಾಟಲು ಬಿಂದುವೊಂದಧಿಕ ॥೨೩॥
If a travel from one part (node) to another is represented with the names of those nodes (single letter), then crossing one bridge will lead to two node names in the series. Hence, if you cross all the n bridges, then you will have n+1 names in the series.
ಏಳು ಸೇತುಗಳಿರುವ ಪುರದಲಿ
ತಾಳೆ ಹಾಕಿರೆ ಮೇಲಿನೆಣಿಕೆಯ
ಪಾಳಿಯೊಳಗೆಂಟಕ್ಷರಗಳೆಂಬರಿವು ಮೂಡುವುದು
ಸೂಳಿನಾಯ್ಕೆಗೆ ಸೇತು ಹಲವಿರ-
ಲಾಳು ದಾಟಲು ಚುಕ್ಕಿಯೊಂದನು
ಹಾಳದಾಗದು ಮನಕೆ ಬಂದುದನಾಯ್ದುಕೊಂಡಿರಲು ॥೨೪॥
Thus, for a city with 7 bridges to cross, using the above idea, the series of node names would be 8 if one has to cross all of them. If there are many options of edges to traverse next from a node, it is immaterial which one is taken first.
ಮೊದಲ ಭಾಗವಿದಾಗಿ ಕಂಡಿತು
ವಿದುರ ತನ್ನಯ ಗಣಿತ ಕಾಣ್ಕೆಯ
ಹದದಿ ಬಳಸುತ ಮೊನೆಯ ಸರಣಿಯನೊಂದ ಕಟ್ಟಿರಲು
ಎದುರಿಗೊಂದಿತ್ತೆಣಿಕೆ ಬೇರೆಯ-
ದದನು ಪಡೆಯಲು ಬಾಹುಬಲಗಳ-
ಲುದಯವಾಗುವ ಗುಣವನೊಂದನು ತುಲನೆ ಮಾಡಿದನು ॥೨೫॥
As the mathematical genius explored his thoughts and constructed a series with the node names, it formed the first part of an equation. On the opposite side of the equation was a sum born out of a property of the degree of the nodes and he compared them.
ಬಿಂದುವೊಂದರ ಬಾಹುಬಲದಲಿ
ಬಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೆಸವದಾಗಿರ-
ಲೊಂದು ಸೇರಿಸುತೆರಡರಿಂದಲಿ ಭಾಗವಾಗಿಸಿರೆ
ಬಂದ ಮೊತ್ತವು ತೋರಿಸುವುದಲ
ಬಿಂದುವದು ತಾನೆಷ್ಟು ಬಾರಿಯು
ಸಂದು ಪೋಪುದು ಕಡಿಮೆಯೆಂದರೆ ವರ್ಣಪಂಕ್ತಿಯಲಿ ॥೨೬॥
If the degree of a node happens to be odd, adding one and dividing the sum by two gives us the number of times that node should minimally appear in the sequence of node names (representing the path).
ಸರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾಹುಬಲವಿರ-
ಲೆರಡರಿಂದದ ಭಾಗವಾಗಿಸೆ
ಸರಣಿಯೊಳಗಾ ಬಿಂದು ಕಾಣುವ ಲೆಕ್ಕ ದೊರೆಯುವುದು
ಪರಿಯಿದಿಂತಿರಲೆಣಿಸುತೆಲ್ಲವ-
ನರಸಿ ಕೂಡಲು ಬರುವ ಮೊತ್ತವ
ಕರೆದನಾಯ್ಲರ ತುಲನೆಯೊಳಗೆರಡನೆಯ ತುಣುಕೆಂದು ॥೨೭॥
And if the degree of a node is even, dividing it by two gives us the number of times it should minimally appear in the sequence of node names (representing the path). This way, the sum of all such values across nodes is the right hand side of the equation.
ಎರಡನೆಯ ಕಡೆಯಿರುವ ಮೊತ್ತವು
ಸರಣಿಯೊಳಗೊಂದೊಂದು ಚುಕ್ಕಿಯ
ಬರುವಿಕೆಯನತಿ ಕಡಿಮೆಯೆಂದರದೆಷ್ಟು ಬಾರಿಯೆನೆ
ಸರಿಯ ನೋಡಿರಲೆಡದ ಭಾಗದೊ-
ಳಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲವು ಮೀರಲು
ಮರಳಿ ಬಳಸದೆ ಬಳಸಿದಣೆಯನು ಮಾರ್ಗವದಸಾಧ್ಯ ॥೨೮॥
The sum on the second part of the equation adds up the minimum number of times each node appears in the node sequence. If one compares this sum with the number on the left (length of the node sequence given the number of edges) if the number on right exceeds the one on left, then it is impossible to traverse all the edges in a path without repeating at least one edge.
ಹತ್ತಕಿಂತೊಂದೂನವಾಗಿಹ
ಮೊತ್ತ ಬಂದಿತು ತುಲನೆ ಬಲದಲಿ
ಸತ್ಯವಾಗಿಸಿ ಮೇಲಿನೆಣಿಕೆಯ ರಾಜಗಿರಿಯೊಳಗೆ
ಸುತ್ತಿ ಬರುತಿರಲೆಲ್ಲ ಸೇತುಗ-
ಳಿತ್ತವಕ್ಷರಗಳನು ವಾಮದೊ-
ಳೊತ್ತಿ ಹೇಳಿದವೆಂಟರಂಕಿಗೆ ಹಿರಿಯದೊಂಬತ್ತು ॥೨೯॥
On using the above calculation on the right hand side of the comparison for Königsberg, one could obtain a sum of nine. On the left hand side, constructing the node sequence led to a count of eight - clearly less than nine, thus supporting the theory.
ಬರೆದನಾಯ್ಲರ ಹಲವು ಪಟಗಳ-
ನೆರೆದು ತನ್ನೀ ತಿಳಿವನವುಗಳ-
ಲಿರುವ ರೇಖಾಬಿಂದುಜಾಲಕೆ ಸೆಳೆದು ಗಮನವನು
ಸರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾಹುಬಲವಿರ-
ಲಿರುವುದಣೆಗಳ ಹಾಯ್ವ ಪಥವೆಂ-
ದರೆಯನುಳಿಸದೆ ತೋರಿದನು ತಾ ಸಿಂಹದೆದೆಯವನು ॥೩೦॥
The lionhearted (Leonhard) Euler drew many examples with this knowledge of his to prove the fact that if the nodes have even degree, then it is possible to cross all the edges and form such a path.
ಜಗದಿ ಕಾಳಗ ಮೊದಲು ಮಾಡಿರ-
ಲೊಗೆದ ಗುಂಡಿಗೆ ನಲುಗಿ ಹೋಗುತ
ಸೊಗದಿ ಬಾಳಿದ ರಾಜಗಿರಿಪುರ ನೆಲವ ಕಚ್ಚಿತ್ತು
ಮುಗಿಯೆ ಸಮರವು ರಷಿಯ ದೇಶವು
ತೆಗೆದುಕೊಂಡೊಡೆತನವ ಕಟ್ಟಿರೆ
ನಗರವಾಯಿತು ಹೊಸತು ಕಲಿನಿಂಗ್ರಾಡಿನಾಖ್ಯೆಯಲಿ ॥೩೧॥
As the war broke out across the world (World War 2), the city of Königsberg was destroyed due to the bomb blasts. Russia took control of the city at the end of the war and reconstructed it in the name of Kaliningrad.
ಇಳೆಯನೆಲ್ಲವ ಜನರು ಸುಟ್ಟಿರ-
ಲಳಿದವಣೆಗಳು ಕೆಲವು ಸಮರಕೆ
ಪಳೆಯುಳಿಕೆಯಾಗಿತ್ತು ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗಿನಿತಿಹಾಸ
ಉಳಿದು ಬೆಳೆಯಿತು ಹೊಸತು ಶಾಖೆಯು
ಹೊಳಲಿನಣೆಗಳ ಪಥದ ತೊಡಕ-
ಚ್ಚಳಿಯದುಳಿಯಿತು ಜನರ ಮನದಲಿ ಗಣಿತ ಗಾಥೆಯಲಿ ॥೩೨॥
As the war flared, some of the bridges of Königsberg were destroyed and the city became a relic. But the new branch of mathematics survived and grew, ensuring that the problem of finding a path through the bridges was etched in history.
ಸ್ಥಳದ ರೇಖಾಗಣಿತವೆನ್ನುತ
ಸೆಳೆದು ವಿದ್ವಜ್ಜನರ ಗಮನವ
ಹೊಳಹು ಹೊಸತೊಂದನ್ನು ತೋರಿದ ಬರಹ ಮಂಡಿಸುತ
ಬಳಸಿ ಗೆರೆಗಳ ಚುಕ್ಕಿಗಳ ತಾ
ಬಿಳಿಲನೊಂದನು ಗಣಿತದಾಲಕೆ
ಬೆಳೆಸಿ ಪಾವನನಾದನಾಯ್ಲರ ಪರಮದಾರ್ಶನಿಕ ॥೩೩॥
Using the name Geometry of Positions, Euler drew the attention of experts from around the world towards the new idea he presented. Using the nodes and edges, the great visionary could add his own adventitious root to the Banyan tree that is Mathematics.
ಬಿಂದುರೇಖಾಗಣಿತವನು ಹೊರ
ತಂದು ಶಾಶ್ವತ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ
ಹಿಂದೆ ಕಾಣದ ಮುಂದೆ ಬಾರದ ತಜ್ಞರಾಜನಿಗೆ
ಸಂದುದೀ ಪದಗುಚ್ಛ ಕಾಣಿಕೆ-
ಯಿಂದು ವೇಂಕಟನೆಂಬ ಕಬ್ಬಿಗ
ವಂದಿಸಿರಲಾಯ್ಲರಗೆ ಜಾಣ್ಮೆಯ ಮೂರ್ತರೂಪನಿಗೆ ॥೩೪॥
Here's a tribute using a bouquet words to the expert who introduced Graph Theory to the world, whose level of expertise goes unparalleled in past and future, as the poet bows to him with respect.
Comments